射影直线是指射影平面上的直线。射影直线的定义是：在欧氏直线上添加一个无穷远点后得到仿射直线，在仿射直线上，如果把普通点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。根据上述约定以及射影直线的定义，我们通过区别欧氏直线与射影直线来理解射影直线的形象，比如：欧氏直线是不封闭的，一点分直线为两部分，三点排成唯一顺序，如下图1。射影直线是封闭的，一点不能分直线为两部分，三点不能排成唯一顺序，所以，可以选取圆作为射影直线的模型，如下图2，

理解射影平面的定义

射影平面的定义比较抽象，它在射影平面的理解中是必不可少的一个环节。射影平面的定义是：欧氏平面上添加一条无穷远直线即可得仿射平面，在仿射平面上，如果对普通元素与无穷远元素不加区分，即可得射影平面。结合射影直线的定义可得出对射影平面的如下理解：射影平面上的直线是封闭的，且任意两条直线有一个交点，每一条直线上有唯一一个无穷远点，射影平面上有唯一一条无穷远直线。根据上述的理解，还可得出射影平面与欧氏平面的不同，如：在欧氏平面上一条直线可以把平面分为两个区域，两条相交直线可以把平面分为四个区域；而在射影平面上，一条直线并不能把该平面分为两个区域，因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交，而另一线段一定不与此直线相交。两直线只能把射影平面分为两个区域，如图3的两部分和Ⅱ的两部分都是相通的，而Ⅰ、Ⅱ两部分是不相通的。因为在射影平面上，直线是封闭的，且两直线有且仅有一个交点。

在上述理解的基础上,为了进一步理解射影平面的整体性质,给出射影平面以下的几种模型。

我们知道，默比乌斯带的特点是具有单侧性，即沿着这带子上任一处出发涂一种颜色，则可以不越过边界将它全部涂遍(即原纸带的两面都涂上同样的颜色)。我们从下面这模型出发，借助于默比乌斯带的单侧性来说明射影平面也是单侧的。我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部份。如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘和起来，就可以得到射影平面。我们可以想象得出射影平面的单侧性和封闭性。在欧氏空间里，我们只能看到射影平面的一部分。

射影平面的模型还可以如下方式给出，设在欧氏空间中给定一个原点O为球心的球面，当把球面上对径点粘和为一点，视为射影点，并把对径点粘和为一点的球面上的大圆视为射影直线，则得到的图形即为射影平面的一个模型。

在这模型中，射影直线都是封闭的，并且任意两条射影直线都相交于一点。而且，是为了使得中心射影成为一一对应，才给平行线添加交点，引进了无穷远点。从而由欧氏直线得到仿射直线，由仿射直线得到射影直线，而由欧氏平面得到仿射平面,由仿射平面得到射影平面。在这里，此射影平面的模型还可以与仿射平面建立一一对应关系。事实上，取定与给定球面相切于一点的仿射平面α，以球心O为射影中心建立此模型Ψ到仿射平面α的中心射影，在此中心射影下，对于Ψ上的Ao点，即球面上的一对对径点A和B，从球心O作通过A和B两点的直线交仿射平面于点C，则点Ao与C对应，而由位于过球心O，平行于α的欧氏平面上的球面大圆所决定的射影直线，则对应于仿射平面上的无穷远直线。这样，就可以建立α上的点与Ψ上的点之间的一一对应。如图4，

若把上述的模型二称为球面模型，则下面的这半球面模型与球面模型很相似。当把赤道大圆的对径点看为模型Ψ上的一点，则仿射平面α与Ψ的点类似于球面模型与仿射平面建立了一一对应。从这两个模型中可以看出射影平面上的直线是封闭的。

射影平面还可以有其它的模型。取过空间一点O的全部直线和平面，称为一个把。对于仿射平面α上任一点，对应于把上的一条直线OA，α上的任意一条直线l对应于把里的一个平面β。把的每一条直线称为一个“点”，其中每一个平面称为一条直线，则这个把也是射影平面的一个模型，可把这模型称为直线把模型，如图5。在这个模型里,满足两直线交于一个点。对于上述所讨论的模型，是从通常空间加以改造而得出的，这有助于我们理解射影平面的结构与性质。

综上所述，在射影平面上，直线是封闭的，每一条直线上都有一个无穷远点，两条直线有且仅有一个交点，射影平面从局部上看与欧氏平面相同，而从整体看，它是一个具有单侧性的封闭曲面。

任何代数曲线（也就是黎曼曲面）都可以投影到射影平面上， 使得投影出来的曲线最多只含有通常二重点 作为奇点。

射影平面上， 一条n次曲线和一条m次曲线相交的点数（切点重复计算）恰好是mn个。 这就是著名的Bezout定理。

射影平面上的二次曲线全都同构于射影直线。 因此我们中学里学的椭圆、双曲线、抛物线在射影平面中看来，不过是同一条直线的不同部分。

射影平面是紧的、不可定向曲面。